獎勵小孩的禮物 為什麼公車一次來三班：生活中隱藏的81個數學謎題
為什麼公車一次來三班：生活中隱藏的81個數學謎題
為什麼公車一次來三班：生活中隱藏的81個數學謎題 評價
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常常會看到父母在討論究竟該不該獎勵?
我自己覺得獎勵是對孩子的一種鼓勵驅使他們前進甚至超越自己
但我覺得父母一定不能忽略鼓勵，沒有鼓勵只有獎勵會讓孩子只朝著物慾邁進
而忘了真正的努力的目的!
我是這麼想的但也不一定是對的!
我還是會常常爬文看看別人的看法，父母有一輩子做不完的功課
分享一篇我覺得分析不錯的觀點
以下文章擷取自媽媽育兒百科
1.獎勵的目的要明確
事先對孩子講明應該做到哪些條件才可以得到獎勵，使孩子有一個明確的目標。
當然，目標不能定得太高，否則孩子會因難以實現而放棄爭取。
2.不用金錢獎勵孩子父母不要用金錢來獎勵孩子。因為父母用錢來獎勵孩子，可能會使孩子產生金錢萬能的思想，
而且會產生對金錢的盲目崇拜，是弊大於利的。在孩子成長的過程中，父母的鼓勵和認同是不可或缺的。
但要注意的是，這種獎勵必須是純潔的，著力於精神的，有益於心靈的，而不是沾滿銅臭味的。
3.犯錯就要處罰如果孩子生氣時把一片玻璃打碎，雖然他可能不是故意的，但是父母也要教育他這是他的過錯。
他雖然沒有料想到自己行為的後果，但他仍要負賠償之責。父母對孩子懲罰時要實事求是，偏離事實的指責，孩子是不會服氣的，也達不到懲罰的效果。
同時，懲罰要注意場合，當眾指責孩子，會極大損害孩子的自尊心。
4.懲罰要及時當孩子出現了不良行為時，父母應立即進行懲罰，
使孩子建立不良行為與懲罰之間的條件聯繫，否則懲罰的作用會減弱，而失去了效果。懲罰前，一定要向孩子解釋一遍懲罰的原因，否則孩子不懂他們為什麼受罰。
5.要教而罰父母要把要求對孩子講清楚。假如你要求孩子做完家庭作業才准看電視
你就要對他講得清清楚楚，讓他記在心上。
如果你發現孩子不做功課而先看電視，你就罰他幾天之內不准看電視。
你先要定下你的要求，他犯了再懲罰，不可不教而罰。
6.懲罰要言出必行當孩子犯某一種過錯時要懲罰他，如果父母警告過他，那麼在他犯錯後，就一定要實行懲罰的諾言。
假如不處罰，你以後便難以下達命令，你的懲罰也就失去了作用。
獎勵的策略和原則：
7.少獎為佳適當時候、適當次數的獎勵，就相當於給發動機加油，可以起到很好的作用，但切不可太濫。
8.獎態度不獎分數大多數家長是以分數或者名次來設定獎項和決定是否獎勵，其實最好的方法是根據孩子的學習態度進行獎勵。
因為從長遠看，態度和努力的程度比一兩次的分數更重要。
平胸手術台南9.一諾千金如果和孩子有了約定，比如有的家長是定考多少分，有的家長是定考到第幾名，就一定要兌現。
如果孩子達到了約定的要求，就要堅決獎勵，做父母的不兌現自己的承諾，就會嚴重挫傷孩子的學習熱情。
10.獎品適當，價值適中10.獎品適當，價值適中獎勵的價值不要太高，其價值和獎品要與孩子的年齡、取得的成績等等相適應。
有些家庭由於形成了獎勵並不斷加碼的習慣，常常給孩子價值過高和不適當的獎勵，那樣反而會害了孩子。
比如有的家長因為孩子某次考試滿分，就給孩子買電腦買遊戲機，結果孩子玩物喪志。
看完真的又學了一課了!
因為最近暑假快結束了!孩子們都有順利完成功課，在阿公阿榪家也有乖乖聽話
所以我決定要買小禮物送給我家兩個寶貝
我們家兩個差蠻多的一個孩明年要讀幼稚園
另一個上了國小
每次要買玩具用品就要跑很多地方!
這次我決定在Yahoo購物中心買
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等公車、買樂透、約女友、洗熱水澡、切蛋糕......，81個有趣又好玩的數學謎題，驚奇不斷的科學之旅！
為什麼公車一來就是三班，而且總是看到公車朝反方向離去？
為什麼永遠找不到四葉幸運草，這個自然界的數學大驚奇有什麼奧祕？
星期幾買樂透最容易中，有沒有逢賭必贏的玩法？
怎樣切蛋糕最公平，一個簡單的動作隱含了哪些數學原理？
巧合真的很巧嗎，沒引起注意的巧合事件到底有多巧？
在日常生活中發現全新的觀察角度，數學讓生活變得更有趣！
你是否想過，為什麼公車常常一次就來三班？為什麼福無雙至，卻禍不單行？越是趕時間，為什麼越容易遇到紅燈？想約心儀的女孩，怎樣才能超越競爭者贏得佳人芳心？......我們都對這些事感興趣，卻不知道這些問題都可以應用數學來解釋。
機率、正切、π、矩陣、質數......，這些讓大家傷透腦筋的數學原理及定律，真的那麼難親近嗎？
本書裡的數學並不只是用來解答問題，而是提供一種嶄新的領悟，並激發你的好奇心。賭博、旅行、約會、烹飪，甚至下雨時決定要不要奔跑，都和數學有關。當本書揭開了數學這個優雅迷人的奇妙世界，無論你的數學功力如何，都會改變你對周遭世界的看法。
在生活中發現意想不到的樂趣，原來數學這麼有趣！
【名家推薦】
「一般人對於學校數學的習焉而不察，部分原因可能是數學知識與日常生活的連結，沒有受到足夠的強調與重視。想必有鑑於此吧，本書作者由此切入，這當然也解釋何以本書各章標題如此引人入勝......總之，這是一本輕薄短小、內容合宜的數學科普著作。由於它的知識門檻不高，所以，我相信只要讀者有一點點『知識獵奇』的心情，就一定會愛不釋手的。」
--洪萬生（國立台灣師範大學數學系教授）
目錄
推薦序 數學知識果然非常有用！ 洪萬生
序 生活種種全都有數學 Tim Rice
緒 論 把數學帶回日常現實生活
第1章 為什麼永遠找不到四葉幸運草？
第2章 走路也有大學問！
第3章 問卷調查的真相
第4 章 聰明人也會做錯事？
第5章 怎麼下賭注，勝算最高？
第6章 巧合真的很巧嗎？
第7章 從哪個角度撞球才容易入袋？
第8章 密碼攻防戰
第9章 為什麼公車一次來三班？
第10章 怎樣切蛋糕最好？
第11章 不作弊要怎樣贏？
第12章 誰是世界冠軍選手？
第14章 第13章哪裡去了？
第15章 誰是殺人兇手？
第16章 真衰，又碰上塞車了！
第17章 為什麼淋浴時水溫不是過熱就是過冷？
第18章 如何準時上菜？
第19章 六種逗小孩高興的神奇把戲！
內文試閱
◎錯過公車有可能是好事
所有人都知道，每次想搭公車時都要等上天長地久，接著一來就是三班。這是常見的都市之謎，而且至少頻繁得可以用來當作書名。不過，數學家也確實會認為是個謎團。因為通常公車並不是一來就三班，而是兩兩出現。
不過，眼前就暫時假定，公車的確一來就是三班。如果這是事實的話，那麼通勤乘客的惡夢根本就不是惡夢。
或許你每次有重要約會的時候也都很倒楣，老是要錯過公車。或許你會想像，錯過公車絕對不會是好事。不過，倘若公車都是成三出現，那麼恰好錯過一班公車，或許你還可以預期會更快抵達目的地。
怎麼會這樣呢？錯過公車怎麼可能反而是好事？
我們鑽研公車現象之前，要先設計一種所謂的數學模式，也就是用虛構數字來簡化真實情況。只要假定合理，就能用模式來驗證構想，看出事情的脈絡。
假定公車總站每15分鐘發一班車。結果等到公車抵達你的候車亭，卻全都是三班集結為一群。為方便討論，就假設一群內各班公車的間隔都只有1分鐘。
既然這三班公車都是在某個45分鐘時段內由總站出發，那麼圖示兩群公車的間隔時段就必然是43分鐘。
集結之前：15分鐘─15分鐘─15分鐘
集結之後：1分鐘─1分鐘─43分鐘
現在假定你剛好看到一班公車離開你的候車亭。你並不知道那班車是一群公車中的哪一班。有可能是第一班，也可能是中間或最後一班，機會均等。倘若那是第一或第二班，那麼你只需要等1分鐘，就可以等到下一班。然而，倘若那是第三班，那麼你就要等43分鐘。
這就表示，你等到下一班車的平均時段長度為：
1分鐘＋1分鐘＋43分鐘/3＝15分鐘
不過，倘若當你來到候車亭之時，並沒有看到公車呢？換句話說，倘若你並不是恰好錯過公車，那又會如何呢？這就表示，你是在公車兩種間隔之一的時段間抵達。或許你剛好逮到1分鐘間隔時段。不過，你也有43/45的機會是碰上較長間隔。而且你抵達的時間，還可能是位於長間隔時段之間的任何時刻。你或許要從43分鐘的起點開始等起，也或許是從終點開始，那麼下班公車就要到站。因此，這時你的平均候車時間就是（43＋0）/2＝21.5分鐘。若是你抵達候車亭之時，並沒有看到公車離站，而且我們還把你在1分鐘間隔時段抵達的微小機會也納入，並略做調整，那麼你等車的時間還是要更長，超過看到公車離站的狀況。若你沒有看到公車離站，平均就要多等5分多鐘。
那就是為什麼，恰好錯過公車有可能會讓你更快完成整段旅程。
◎公車真的一來就是三班嗎？
車班集結成群絕對不是公車公司無能所造成的。這種集結現象純粹是生活中的現實。就算總站每15分鐘準時發車，乘客來到候車亭的時間卻不是那麼精確。絕大多數乘客都是隨機抵達。很可能在公車路線某點上，會突然有大批乘客抵達，當然搭車上下時也要刷卡投幣。這種行為會讓公車慢下來，也因此到了下一站時，就會需要搭載更多旅客。
這樣一來，下一班公車就會愈來愈接近前一班。況且，由於在兩班車的間隔期間抵達的乘客人數也要減少，於是第二班公車要搭載的乘客還要更少。因此第二班公車還會行進得更快。這時兩班公車就會陷入一種惡性循環，所以第二班車就幾乎肯定會趕上第一班，結果這兩班車就會雙雙完成旅程。這就是為什麼公車常會兩兩成群。
公車行進的路線愈長，就愈可能和另一班車集結成群。果真有三班公車聚集並列，也比較可能是在接近漫長行程的終點時出現。這種現象也比較常見於班車相距很近的狀況，換句話說，就是車班較為密集的公車路線。這還真是諷刺，「最好」的公車路線卻變成最會集結成群，也最容易引來罵名的路線。
然而，這種怪異的結果有個先決條件，那就是公車確實會每三班集結。不過，下面的「知識補給站」可以證明，公車比較可能兩兩聚集，卻較少成三集結。倘若公車是兩兩集結，那麼結果是就算你恰好錯過公車，也不會影響候車時間長度。
倘若公車完全不集結成群，這時若乘客錯過公車，情況就最糟糕了。這時錯過公車絕對就要等15分鐘，而這時若是沒有看到公車，就表示平均要候車7.5分鐘。不過，倘若你看到公車離開，至少你就知道今天他們還在營運......
【知識補給站】為什麼總是看到公車朝反方向離去？
另外有個問題和公車集結有關，這種現象很怪，實際上也可能發生。假定你的候車亭很接近公車路線終點。公車到終點就要掉頭向起點開回去。你也注意到，不管你在任何時間前往候車，幾乎每次都會先看到你的公車朝反方向離去，隨後才會看到你要搭的方向。這感覺上就像是串通好的，你是否應該寫信去抱怨？要解釋這種公車方向不平均的問題，請看第166頁的「知識補給站」中相仿的送花情節。
我們先替你的公車路線擬定幾個時間。你的候車亭距離路線終點只有1分鐘，而且公車繞完整條路線要花15分鐘。這就表示，你的公車每15分鐘就來一班。你抵達時，公車有可能在較長路線行進，也就是你在那13分鐘間隔期間來到候車亭，不然你也可能是在公車開抵終點並掉頭回駛的那2分鐘間隔期間抵達。
只要你是隨機抵達，那麼你就比較可能在較長間隔期間抵達，機率是13比2，因此你看到的第一班公車，就會在道路另一側行駛，並正要前往終點站。事實上，只要是每隔15分鐘發一班車，不管有多少輛公車在你的路線上行駛都沒有關係。因此，儘管你會覺得，在道路另一側行駛的公車班次比你這側的多，事實上卻不是如此。
【知識補給站】花為什麼全都送到莎拉手中？
菲爾有兩位女朋友，他去探望女友時都搭火車。貝姬住在城北，莎拉則住在城南。由於菲爾猶豫不決，不知道該去探視哪位，因此他打算碰運氣來決定。每天他都隨機在不同時間來到車站，倘若北上列車先抵達，他就去找貝姬，若是南下列車先抵達，他就去看莎拉。幾個月之後，菲爾開始覺得命運有安排，因為他只探視了貝姬2次，去找莎拉卻達28次。這該如何解釋？
答案和列車頻率完全無關。北上南下的火車班次相等。其實其中原因還非常單純。南下的列車在整點和每小時的15、30與45分鐘時抵達菲爾候車的車站；而北上的列車則是在每小時的01、16、31和46分鐘時抵達。
因此，倘若菲爾是在隨機時間抵達，那麼他就比較可能在南下列車到站前的較長間隔期間抵達，同時比較不可能在南下列車剛走、北上列車到站前的較短間隔期間抵達。（事實上機率就為14倍）
◎在雨中跑多快才不會被淋濕？
本章談了很多有關於等公車和火車的事情。當然，偶爾大眾運輸系統也會失靈，到最後你根本就必須走路。倘若這時還下起了大雨，而且你的雨傘也不在手邊，那麼問題就更大條了。
這裡有個老問題：「你是應該跑步或走路？」若是你決定開跑，想想原本打不到身上的許多雨點，這下你都要撞上了。那麼就走路吧，這樣你在雨中就會待得更長，肩上也淋個濕透。多年以來都有些人認真構思，從數學角度來鑽研這個問題。結論始終都是，若想儘量保持乾燥，你就應該全力奔跑。或許你根據常識就知道這點。
然而，這道問題還有個意外轉折。標準答案假定雨點是垂直落下。倘若下雨時還刮風，雨點是以某個角度下墜，那時又會如何？
當雨點垂直下墜，而你站立不動，雨點只會打到你的頭頂肩上。然而，倘若有風從你背後吹來，那麼就算你靜靜站著，還是有部分雨點會淋到你的後背。這就猶如雨點除了垂直下墜之外，還會橫向撲來。雨點有水平速率。這個意外轉折就是，當雨點從你後方撲來，有時候最好還是走路，不要奔跑。不過，這只有當你的移動速率，能夠超過雨點的水平速率之時才管用。
◎公平分蛋糕的心理戰術
分蛋糕給小孩時，他們都會斤斤計較是否公平。一旦孩子認為蛋糕不是切得完全公平，他們都會等不及開始抱怨。成人很少大聲抱怨，不過他們私底下也會感到不滿。因此，你要怎樣才能保證蛋糕分得公平？我們就假定那是鮮奶油蛋糕，因此，第一次就絕對要把蛋糕切得圓滿，不會有第二次的機會。
首先提出一個簡單問題。媽媽給湯姆和凱蒂吃鮮奶油蛋糕，想要平均分給他們。兩個孩子都不相信媽媽有辦法完全公平分配，也都自認為會吃虧。媽媽要怎樣做，才能保證讓兩個孩子都覺得完全公平？
答案是把刀子拿給湯姆，要他分糕，接著要凱蒂選擇一塊。湯姆要切糕，因此他會認為那兩半是一模一樣，而凱蒂則會選擇她覺得比較大的那塊。順便一提，這還會產生一種有趣的現象。湯姆會認為留給他的那塊是正好均分，而凱蒂則會覺得，她拿走的那塊比均分還要大一點。湯姆的「均分」加上凱蒂的「比均分大一點」加起來大於1。若依這種數學邏輯推論，結果就是孩子認為，那塊蛋糕到最後還比原來的更大！這對當父母的是個好消息，可以讓孩子心滿意足。
若是有3個孩子，問題就比較複雜了。我們就假定這時艾瑪也來了。最簡單的作法就是要湯姆把蛋糕切成3塊，接著要凱蒂先選，隨後讓艾瑪挑一塊。不幸，儘管凱蒂和艾瑪都會認為，她們選的蛋糕比湯姆的大，艾瑪卻可能覺得，凱蒂拿到的有可能是最大塊的。
這促成了「眼紅數學」（Mathematics of envy）研究。幾位數學家都曾經針對這類問題下過工夫，結果發現幾種作法，可以把蛋糕切成3份，而且分到蛋糕的人，也都會認為自己拿到的最大。梅瑟斯?布拉姆斯（Messrs Brams）和泰勒（Taylor）還鑽研了切糕分給4人的問題。他們訂出嚇人作法，包括20個步驟，保證可以妥善均分蛋糕，還能讓所有人都認為，自己挑中的是最大塊的。這種作法的最大缺點是，過程要從其中一塊切下薄片。很少有人有那種耐心照本宣科，而且切軟蛋糕時還會亂七八糟黏成一團。
不過，布拉姆斯和泰勒發現，他們的程序不只是可以用來切糕，還能用來分其他東西。其中也包括戰後領土畫分、離婚怨偶的財產分配或甚至於分遺產。這一切都可以證明，蛋糕和三明治都是很好的研究起點，能夠由此進入「公平數學」（Mathematics of justice）研究。不過，這兩者也都是研究「內疚數學」（Mathematics of guilt）的優異初階範疇。
◎來自餅乾的內疚數學
假定你和4位鄰居獲邀到住在27號的歐太太家喝茶。在你到達時，歐太太端出一壺茶，還有一碟5片餅乾。4片是巧克力的，另一片是原味的。你猜想那4位鄰居中，多數都愛吃巧克力餅乾。那碟餅乾擺在桌上，大家都在聊天，前3位鄰居動手各拿走1片巧克力餅乾。
你看著碟子，裡面有1片巧克力的和1片原味的，於是你思忖：「倘若我拿那塊原味餅乾，吃起來並不過癮，不過這樣一來，我就不會覺得內疚。另一方面，倘若我拿巧克力餅乾，那會很好吃，不過我會感到內疚......我該怎麼辦呢？」
問題是，你拿走最後那片巧克力餅乾，真的應該感到內疚嗎？畢竟，倘若第1個人拿的是原味的餅乾，那麼往後4人就都只有巧克力餅乾可吃。因此，或許第1個人應該也要感到內疚，因為是她讓你陷入這種困境。第2位和第3位也一樣。
這個問題會牽涉到內疚數學，這個領域和機率有些關連。倘若80%的人比較喜歡吃巧克力餅乾，超過原味的，那麼當第1位鄰居伸手取走1片巧克力餅乾之時，在其他鄰居當中，希望拿巧克力餅乾的比例，各約為40%（算法為0.8×0.8×0.8×0.8）。因此，第1位鄰居不必太感到內疚。不過，等到該你拿餅乾的時候，碟子裡就只剩下1片巧克力的和1片原味餅乾，這時另一位鄰居想要吃巧克力餅乾的機率，已經攀升到80%。難怪你會感到內疚。不過，前面幾位鄰居也都是幫凶，會逐一提高機率。因此，拿巧克力餅乾的人，沒有一個是完全無辜的。
要解決巧克力餅乾內疚問題，有幾種對策可以採用。第一種是，一開始就拿起碟子，詢問是否有人要原味餅乾。倘若有人拿走原味的，那麼你就可以如願拿1塊巧克力餅乾，也完全不用感到內疚。這種作法的缺點是，不管是巧克力或其他任何東西，都沒有人希望最後挑選。突然之間，原味餅乾本身卻變成內疚的來源。
還有另一種作法，你可以宣佈自己不餓，因此其他人就可以自行分享餅乾。有些人會說，這種無私表現能博得屋裡其他人的一致讚揚，還能鼓舞全球民眾的博愛胸懷。另外則有人會認為，這是自甘放棄的懦弱表現。
於是只剩下最後一項對策，那就是把一切罪過都推到歐太太身上，「對不起，不過我們有5個人，卻只有4片巧克力餅乾。」就短期而言，問題很可能解決，同時歐太太也飛奔到街角餅店，不過這或許就是你最後一次獲邀飲茶。
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